前面我们已经见过几类生成模型。GAN 像是一场对抗游戏，让生成器一步生成出逼真的样本；AutoEncoder 在学压缩与重建；VAE 则开始显式地建模概率分布，可以从潜变量中采样；而到了 Diffusion Model，它的思路又很不一样：
它不是一步把图像画出来，而是从一团噪声开始，一点一点把图像洗出来。
这件事第一次听起来会有点奇怪：去噪，不就是把一张脏图变干净吗？这和生成有什么关系？为什么从纯噪声开始，反复去噪，最后就能得到一张真实图像？
这一节我们先不急着上完整推导，而是先把这个核心直觉讲清楚。你会看到，DDPM 的出发点其实非常简单：如果一步生成太难，那就把它拆成很多个简单的小步骤。
import random
import matplotlib.pyplot as plt
import torch
import torchvision.datasets as datasets
import torchvision.transforms.v2 as v2
%config InlineBackend.figure_format = 'retina'
print('PyTorch version:', torch.__version__)PyTorch version: 2.11.0+xpu我们先想一个非常简单的过程。假设我们手里有一张真实图片 \(x_0\)。现在我们不断往上面加一点点高斯噪声：
这说明一件事，真实数据分布和高斯噪声分布之间，也许可以通过很多个很小的变化连接起来。那么，既然我们能把一张真实图像，慢慢推到噪声那边去，那么一个自然的想法就是：
能不能反过来？
也就是说，我们能不能从纯噪声出发，每一步只做一点点修正，最后慢慢走回真实图像分布？
这就是 DDPM 最核心的想法。
下面我们先不训练任何模型，只是拿一张图片来做一件简单的事：每隔几步，就给它加一些高斯噪声，并且噪声水平逐渐增大。我们来看看图像是如何逐渐失去结构的。
# Change the root path to your local directory if needed
root = 'D:/Workspaces/Python Project/datasets'
transform = v2.Compose([v2.ToImage(), v2.ToDtype(torch.float32, scale=True)])
ds = datasets.MNIST(root, train=False, download=True, transform=transform)
idx = random.randint(0, len(ds) - 1)
x0 = ds[idx][0].squeeze(0) # shape: (28, 28)
noise_levels = [0.0, 0.1, 0.25, 0.5, 0.8, 1.0]
fig, axes = plt.subplots(1, len(noise_levels), figsize=(8, 2))
for ax, sigma in zip(axes, noise_levels, strict=True):
eps = torch.randn_like(x0)
xt = x0 + sigma * eps
xt = xt.clamp(0.0, 1.0)
ax.imshow(xt, cmap='gray')
ax.set_title(f'sigma={sigma:.2f}', fontsize=10)
ax.axis('off')
plt.tight_layout(pad=0.5)
plt.show()
从上面的图里我们可以发现，当噪声很小时，图像的大体结构还在；当噪声逐渐增大时，模型需要恢复的信息越来越多；当噪声大到一定程度时，图像几乎就只剩下随机的像素点了。
所以，从清晰图像到纯噪声，不是啪地一下完成的，而是可以分成很多个小步骤。那么反过来，从噪声走回图像，是不是也有可能分成很多个小步骤呢？也就是说，我们在完成一个对加入噪声的逆过程。那么，我们为什么要一步一步加入噪声呢，而不是一步到位呢？
假设现在让你做两个任务。
任务 A：一步到位生成一张猫的图片
输入是一团随机噪声，输出直接是一张完整、自然、结构合理、细节丰富的猫图。
这很难。因为模型一次就要决定很多事情：猫的姿态是什么？脸朝哪里？背景是什么？毛发纹理怎么画？光照怎么安排？整体结构是否自然？也就是说，一步到位生成，本质上是在学习一个非常复杂的全局映射。所以，这个任务对模型来说是非常难的。
任务 B：给你一张稍微有点噪声的图，让你把噪声去掉一点
这个任务就简单很多。因为这时候图像里已经保留了一部分结构，大概的轮廓还在，局部形状还在，噪声只是覆盖在这些结构之上。就像上面的实验，即使加入 100% 的噪声，我们仍然可以大体分辨出图片里的数字。模型也是一样。这时候，模型不需要从零创造一切，它只需要知道，在这张图里，哪些部分更像是噪声？应该往哪个方向修正一点？这就比一步生成整张图容易得多。
于是，Diffusion Model 的核心策略就是：不要强迫模型一次学会从随机数直接生成图像，而是把这个难问题拆成很多个简单的小问题，每一步只去掉一点噪声。这和深度学习里一个很常见的思想很像：一个复杂映射，如果拆成很多个简单映射，往往更容易学习。
DDPM 其实做了两件事。
第一步：设计一个前向加噪过程
我们人为规定一个简单、固定的过程，把真实图像一步步加噪，直到最后变成标准高斯噪声：
\[ x_0 \rightarrow x_1 \rightarrow x_2 \rightarrow \cdots \rightarrow x_T \]
其中，\(x_0\) 是真实图像；\(x_t\) 是第 \(t\) 步加噪后的结果；\(x_T\) 基本上就是纯噪声。
这个过程不需要学习，是我们自己定义好的。它的作用就是，把复杂的数据分布，逐渐变成一个我们非常熟悉、非常容易采样的高斯分布。
第二步：学习一个反向去噪过程
既然前向过程会把图像变成噪声，那么我们就训练一个神经网络，去学习反方向的过程：
\[ x_T \rightarrow x_{T-1} \rightarrow x_{T-2} \rightarrow \cdots \rightarrow x_0 \]
也就是，输入当前带噪的图，预测这一步应该去掉多少噪声，得到稍微更干净一点的图；重复很多次，最后得到一张清晰图像。
于是，当我们想要生成图片时就很简单了：从一个随机高斯噪声开始，反复调用去噪网络，最后生成样本。所以，DDPM 的生成并不是像 GAN 那样直接生成，而是从噪声出发，逐步去噪。
直觉上，我们已经觉得这件事合理了。从概率建模的角度看，它其实也很自然。
我们知道，无论何种生成模型，最终想学的都是数据分布 \(p_{\text{data}}(x)\)。传统生成模型会直接或间接地去逼近这个分布，而 DDPM 是先人为定义一个前向过程，把数据分布慢慢变成高斯分布；再学习它的反向过程，让模型学会如何从高斯分布回到数据分布。
也就是说，它不是直接硬学：
\[ \text{noise} \rightarrow \text{image} \]
而是学：
\[ \text{noise} \rightarrow \text{slightly less noisy image} \rightarrow \cdots \rightarrow \text{clean image} \]
每一步都只做一点点修改，因此学习难度更低，也更稳定。
所以，DDPM 成功把一个图像生成问题，转化成了一个去噪问题。我们先人为把图像变得更糟（加噪），再教网络怎么把图像变得更好（去噪）。这就是它的核心思路。每一步网络的输出，就是这一步我们应该从图片里去掉多少噪声。
在最常见的 DDPM 记号里，我们会把第 \(t\) 步的带噪样本写成：
\[ x_t = \sqrt{\bar{\alpha}_t}\,x_0 + \sqrt{1 - \bar{\alpha}_t}\,\epsilon, \qquad \epsilon \sim \mathcal{N}(0, I) \]
这条式子现在不用急着完全吃透，我们只需要先抓住它表达的意思：
这里的 \(\bar{\alpha}_t\) 是一个随时间变化的系数，控制了原图和噪声的比例。它是随时间单调递减的，所以随着 \(t\) 增大，原图成分逐渐减少，噪声成分逐渐增加。它的具体形式我们后面再讲，现在先不急。
在训练时，模型的任务通常就是：
\[ \epsilon_\theta(x_t, t) \approx \epsilon \]
也就是说，给它一张在某个时刻的含噪声图像，让它猜出其中混入的噪声。这就是为什么很多 DDPM 论文和代码实现里，最后的损失函数看起来像一个很简单的均方误差：
\[ \mathcal{L} = \mathbb{E}\left[\left\|\epsilon - \epsilon_\theta(x_t, t)\right\|^2\right] \]
表面上它只是在猜噪声，但本质上它是在学习如何把样本从噪声方向，慢慢拉回数据分布。
现在我们可以把 DDPM 的总体流程总结出来了。
训练阶段
训练时，我们拿一张真实图像 \(x_0\)，随机选一个时间步 \(t\)，然后：
所以训练的本质就是，让模型学会在任意噪声水平下，识别并估计噪声。
生成阶段
生成时，我们不再输入真实图像，而是直接从纯高斯噪声 \(x_T\) 开始：
最后得到的 \(x_0\)，就是我们想要的生成样本。
DDPM 的本质可以理解为三句话：
总的来说，DDPM 的想法就是，如果复杂的生成任务太难，那就把它拆成很多个简单的小任务。当然，虽然 DDPM 的核心思路很简单，但它的数学推导和细节设计还是非常让人头疼的，后面我们会慢慢展开来讲。
下一节我们就要正式进入数学形式，来看看 DDPM 的前向加噪和反向去噪是怎么定义的，以及它们之间的关系。到最后你就会发现，原来 DDPM 的训练目标和生成流程，都是从一个非常自然的概率建模角度推导出来的，而不是随意设计的。